Algèbre linéaire Exemples

$- 3 + 4 i$

Étape 1

Calculez la distance de $(a, b)$ à l’origine en utilisant la formule $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$ .

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Étape 2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{9 + 4^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{9 + 16}$

Étape 2.3

Additionnez $9$ et $16$ .

$r = \sqrt{25}$

Étape 2.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$r = \sqrt{5^{2}}$

Étape 2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = 5$

Étape 3

Calculez l’angle de référence $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{- 3} |)$

Étape 4

Simplifiez $\arctan (| \frac{4}{- 3} |)$ .

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$θ̂ = \arctan (| - \frac{4}{3} |)$

Étape 4.2

$- \frac{4}{3}$ est d’environ $- 1.\overline{3}$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{4}{3}$ et retirez la valeur absolue

$θ̂ = \arctan (\frac{4}{3})$

Étape 4.3

Évaluez $\arctan (\frac{4}{3})$ .

$θ̂ = 0.92729521$

Étape 5

Le point se situe dans le deuxième quadrant car $x$ est négatif et $y$ est positif. Les quadrants sont étiquetés dans l’ordre antihoraire, en commençant en haut à droite.

Quadrant $2$

Étape 6

$(a, b)$ se trouve dans le deuxième quadrant. $θ = π - θ̂$

$θ = π - 0.92729521$

Étape 7

Simplifiez $θ$ .

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Étape 7.1

Remplacez par l’approximation décimale.

$3.14159265 - 0.92729521$

Étape 7.2

Soustrayez $0.92729521$ de $3.14159265$ .

$2.21429743$

Étape 8

Utilisez la formule pour déterminer les racines du nombre complexe.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Étape 9

Remplacez $r$ , $n$ et $θ$ dans la formule.

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Étape 9.1

Remplacez par l’approximation décimale.

${(5)}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π k}{3}$

Étape 9.2

Soustrayez $0.92729521$ de $3.14159265$ .

${(5)}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{2.21429743 + 2 π k}{3}$

Étape 9.3

Associez ${(5)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{2.21429743 + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

Étape 9.4

Associez $c$ et $\frac{{(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

Étape 9.5

Associez $i$ et $\frac{c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$

Étape 9.6

Associez $s$ et $\frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))))}{3}$

Étape 9.7

Supprimez les parenthèses.

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Étape 9.7.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c (5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))))}{3}$

Étape 9.7.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$

Étape 9.7.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{3}}) (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

Étape 9.7.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

Étape 9.7.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{3}}) (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

Étape 9.7.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c) \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

Étape 9.7.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s i c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

Étape 10

Remplacez $k = 0$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (0)}{3})$

Étape 10.2

Remplacez par l’approximation décimale.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (0)}{3})$

Étape 10.3

Soustrayez $0.92729521$ de $3.14159265$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (0)}{3})$

Étape 10.4

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 10.4.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 0 π}{3})$

Étape 10.4.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 0}{3})$

Étape 10.5

Additionnez $2.21429743$ et $0$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743}{3})$

Étape 10.6

Divisez $2.21429743$ par $3$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 0.73809914$

Étape 10.7

Multipliez $5^{\frac{1}{3}} c i s$ par $0.73809914$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (0.73809914)$

Étape 11

Remplacez $k = 1$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (1)}{3})$

Étape 11.2

Remplacez par l’approximation décimale.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (1)}{3})$

Étape 11.3

Soustrayez $0.92729521$ de $3.14159265$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (1)}{3})$

Étape 11.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π}{3})$

Étape 11.5

Additionnez $2.21429743$ et $2 π$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{8.49748274}{3})$

Étape 11.6

Divisez $8.49748274$ par $3$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 2.83249424$

Étape 11.7

Multipliez $5^{\frac{1}{3}} c i s$ par $2.83249424$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (2.83249424)$

Étape 12

Remplacez $k = 2$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (2)}{3})$

Étape 12.2

Remplacez par l’approximation décimale.

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (2)}{3})$

Étape 12.3

Soustrayez $0.92729521$ de $3.14159265$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (2)}{3})$

Étape 12.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 4 π}{3})$

Étape 12.5

Additionnez $2.21429743$ et $4 π$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{14.78066804}{3})$

Étape 12.6

Divisez $14.78066804$ par $3$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 4.92688934$

Étape 12.7

Multipliez $5^{\frac{1}{3}} c i s$ par $4.92688934$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (4.92688934)$

Étape 13

Indiquez les solutions.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (0.73809914)$

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (2.83249424)$

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (4.92688934)$